Opgaver: lineære modeller

Opstil model for vandtank

En vandtank indeholder 200 liter vand. Der pumpes 15 liter vand i tanken hvert minut. Lad $x$ være antal minutter og $f(x)$ vandmængden i liter. Opstil en model for $f(x)$.

Fortolk hældningen for taxameter

Prisen for en taxatur kan beskrives ved $P(x)=12x+40$, hvor $x$ er antal kørte kilometer og $P(x)$ prisen i kr. Fortolk tallet 12 i modellen, inklusive enhed.

Fortolk begyndelsesværdien for mobilabonnement

Den månedlige udgift til et mobilabonnement er givet ved $U(x)=0,5x+99$, hvor $x$ er antal forbrugte minutter, og $U(x)$ er udgiften i kr. Fortolk tallet 99 i modellen.

Fremskrivning med saldomodel

En opsparing kan beskrives ved $S(x)=250x+3000$, hvor $x$ er antal måneder, og $S(x)$ saldoen i kr. Bestem saldoen efter 2 år.

Opstil model ud fra to observationer

En plante måles til at være 12 cm høj 3 uger efter såning og 24 cm høj 7 uger efter såning. Antag, at højden vokser lineært med tiden. Opstil en model for højden $h(x)$ som funktion af antal uger $x$.

Løs f(x) = k i en benzintanksmodel

En bils benzintank indeholder 55 liter ved start. Under kørsel bruges der 0{,}08 liter benzin pr. kørt kilometer. Modellen er $B(x)=-0,08x+55$, hvor $x$ er antal kørte km. Bestem, hvor mange kilometer bilen kan køre, før tanken er tom.

Vurder modellens gyldighed for badebassin

Et badebassin tømmes for vand efter modellen $V(x)=8000-40x$, hvor $x$ er antal minutter, og $V(x)$ er vandmængden i liter. Vurder, for hvilke værdier af $x$ modellen giver mening.

Sammenlign to abonnementer

To streamingtjenester har priser givet ved $A(x)=20x+50$ og $B(x)=35x$, hvor $x$ er antal måneder, og priserne er i kr. for det samlede forbrug. Bestem, hvornår de to tjenester koster det samme.

Model for lagerbeholdning, udfordrende

Et lager har 5000 varer på hylderne. Der sælges 120 varer om dagen, og der leveres ikke nye varer i den periode, der ses på. Samtidig koster det virksomheden 3 kr. pr. vare pr. dag at opbevare varerne på lager. Opstil en model for de daglige lageromkostninger $L(x)$ som funktion af antal dage $x$, og bestem efter hvor mange dage lageret er tomt.

Model for solcelleanlæg, udfordrende

Et solcelleanlæg koster 60000 kr. at installere. Anlægget sparer husejeren 4500 kr. om året i elregning. Opstil en model for den samlede besparelse fratrukket etableringsomkostningen efter $x$ år, og bestem efter hvor mange år anlægget er tjent hjem. Vurder desuden, om modellen kan bruges til at forudsige besparelsen om 50 år.

Eksamensnær opgave: fitnesscenter

Et fitnesscenter tilbyder et medlemskab, hvor man betaler et oprettelsesgebyr samt et fast beløb pr. måned. Et medlem, der har været medlem i 4 måneder, har i alt betalt 940 kr. Et medlem, der har været medlem i 10 måneder, har i alt betalt 1600 kr. Lad $P(x)$ være den samlede betaling i kr. efter $x$ måneder.

1. a)Opstil en model for $P(x)$ ud fra oplysningerne.
2. b)Fortolk hældningskoefficienten og begyndelsesværdien i modellen.
3. c)Bestem, hvor mange måneder man kan være medlem for højst 2500 kr. i alt.

Eksamensnær opgave: vandstand i sø

Vandstanden i en sø falder på grund af tørke. Ved starten af målingen, $x=0$ uger, er vandstanden 340 cm. Efter 6 uger er vandstanden målt til 292 cm. Faldet antages at være lineært, så længe søen ikke løber tør. Lad $V(x)$ betegne vandstanden i cm efter $x$ uger.

1. a)Opstil en model for $V(x)$.
2. b)Fortolk hældningskoefficienten i modellen.
3. c)Gør rede for, hvornår modellen senest holder op med at give mening, og bestem hvor mange uger modellen kan bruges.