Lineære funktioner

En sammenhæng er lineær, når den ændrer sig med det samme beløb hver gang. Betaler du 25 kr. pr. kilometer og 40 kr. i startgebyr, koster turen 40 kr. plus 25 kr. for hver kilometer. Prisen vokser med præcis 25 kr. pr. kilometer, uanset om du er på den første eller den tiende kilometer. Det er kernen i en lineær funktion.

I eksemplet med taxaturen er $a=25$ og $b=40$, så forskriften er $f(x)=25x+40$, hvor $x$ er antal kilometer og $f(x)$ er prisen i kroner.

Tallet $a$ hedder hældningskoefficienten. Den fortæller, hvor meget funktionsværdien ændrer sig, når $x$ vokser med 1. Det er den eneste ting, der bestemmer, hvor stejl linjen er.

• $a>0$: funktionen er voksende, og grafen går opad mod højre.
• $a<0$: funktionen er aftagende, og grafen går nedad mod højre.
• $a=0$: funktionen er konstant, og grafen er vandret.
• Jo større $|a|$ er, jo stejlere er linjen.

Kender du to punkter på linjen, $P(x_1,y_1)$ og $Q(x_2,y_2)$, kan du altid beregne hældningen som ændringen i y divideret med ændringen i x.

Tallet $b$ er funktionsværdien, når $x=0$, for $f(0)=a\cdot 0+b=b$. Grafen skærer derfor y-aksen i punktet $(0,b)$. I en model svarer $b$ typisk til startværdien: startgebyret, det beløb der allerede står på kontoen, eller den temperatur man begyndte ved.

1. Beregn $a$ med $a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.
2. Indsæt $a$ og ét af punkterne i $y=ax+b$.
3. Isolér $b$.
4. Skriv forskriften, og tjek den med det andet punkt.

Til eksamen bliver du ofte bedt om at forklare, hvad tallene betyder i den konkrete situation. Så skal både enhed og retning med: ikke bare at a er 25, men at prisen vokser med 25 kr. pr. kørt kilometer.

• $a$ tolkes som ændring pr. enhed af x, med enhed.
• $b$ tolkes som værdien ved starten, altså når x er 0.
• Overvej altid, om modellen giver mening for meget store eller negative x.