Bevis for to-punkts-formlen

Sætning

To-punkts-formlen for hældningskoefficienten

Lad $f (x) = a x + b$ være en lineær funktion, og lad $P (x_{1}, y_{1})$ og $Q (x_{2}, y_{2})$ være to forskellige punkter på grafen med $x_{1} \neq = x_{2}$ . Så gælder $a = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ .

Forudsætninger

$f$ er en lineær funktion, altså $f (x) = a x + b$ for tal $a$ og $b$ .
$P (x_{1}, y_{1})$ og $Q (x_{2}, y_{2})$ ligger på grafen for $f$ .
$x_{1} \neq = x_{2}$ .

Bevis

Da begge punkter ligger på grafen, gælder der pr. definition af funktionsværdi: $y_{1} = a x_{1} + b og y_{2} = a x_{2} + b$
Træk den første ligning fra den anden. Leddet $b$ optræder i begge og forsvinder: $y_{2} - y_{1} = (a x_{2} + b) - (a x_{1} + b) = a x_{2} - a x_{1}$
Sæt $a$ uden for parentes i højresiden: $y_{2} - y_{1} = a (x_{2} - x_{1})$
Da $x_{1} \neq = x_{2}$ , er $x_{2} - x_{1} \neq = 0$ , og vi må derfor dividere med dette tal: $\frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}} = a$

Hældningskoefficienten kan altså beregnes ud fra to vilkårlige forskellige punkter på grafen. Bemærk, at betingelsen $x_{1} \neq = x_{2}$ er nødvendig: to punkter med samme x-værdi ligger på en lodret linje, som ikke er graf for en funktion.

Læs om lineære funktioner

Bygger på: basal-algebra, Lineære funktioner