Opgaver: vektorer i 2D

Seksten opgaver om vektorer i planen, fra koordinatsæt og længde til skalarprodukt, determinant, projektion og areal. Du kan få metode uden at se facit.

Grundlæggende: 6
Mellem: 5
Udfordrende: 5

Bygger på: Afstande i planen

Opgave 1Grundlæggende

Forbindelsesvektor mellem to punkter

I et koordinatsystem er givet punkterne $A (2, 7)$ og $B (9, 3)$ . a) Bestem koordinatsættet til forbindelsesvektoren $A B$ .

Opgave 2Grundlæggende

Længden af en vektor

En vektor $a$ er bestemt ved $a = (9 - 12)$ . a) Bestem længden af $a$ .

Opgave 3Grundlæggende

Linearkombination af to vektorer

To vektorer $a$ og $b$ er bestemt ved $a = (4 - 1)$ og $b = (- 2 5)$ . a) Bestem koordinatsættet til vektoren $c = 2 a - 3 b$ .

Opgave 4Grundlæggende

Tværvektor

En vektor $a$ er bestemt ved $a = (6 - 5)$ . a) Bestem koordinatsættet til tværvektoren $a^$ . b) Gør rede for, at $a$ og $a^$ er ortogonale.

a)Bestem koordinatsættet til tværvektoren $a^$ .
b)Gør rede for, at $a$ og $a^$ er ortogonale.

Opgave 5Grundlæggende

Skalarprodukt

To vektorer $a$ og $b$ er bestemt ved $a = (3 - 8)$ og $b = (- 4 2)$ . a) Bestem skalarproduktet $a \cdot b$ .

Opgave 6Grundlæggende

Er vinklen ret?

To vektorer $a$ og $b$ er bestemt ved $a = (54)$ og $b = (- 8 10)$ . a) Undersøg, om vinklen mellem $a$ og $b$ er ret.

Opgave 7Mellem

Vinklen mellem to vektorer

To vektorer $a$ og $b$ er bestemt ved $a = (71)$ og $b = (35)$ . a) Bestem vinklen mellem $a$ og $b$ .

Opgave 8Mellem

Determinant og parallelogram

To vektorer $a$ og $b$ er bestemt ved $a = (6 - 2)$ og $b = (59)$ . a) Bestem determinanten $det (a, b)$ . b) Bestem arealet af det parallelogram, der udspændes af $a$ og $b$ .

a)Bestem determinanten $det (a, b)$ .
b)Bestem arealet af parallelogrammet.

Opgave 9Mellem

Er vektorerne parallelle?

To vektorer $a$ og $b$ er bestemt ved $a = (4 - 6)$ og $b = (- 10 15)$ . a) Undersøg, om $a$ og $b$ er parallelle.

Opgave 10Mellem

Areal af en trekant

En trekant $A B C$ har vinkelspidserne $A (1, 2)$ , $B (7, 4)$ og $C (3, 9)$ . a) Bestem arealet af trekant $A B C$ .

Opgave 11Mellem

Retvinklet trekant

En trekant $A B C$ har vinkelspidserne $A (1, 1)$ , $B (5, 3)$ og $C (3, 7)$ . a) Gør rede for, at trekant $A B C$ er retvinklet. b) Bestem arealet af trekanten.

a)Gør rede for, at trekanten er retvinklet.
b)Bestem arealet af trekanten.

Opgave 12Udfordrende

Vektor med en parameter

To vektorer $a$ og $b$ er bestemt ved $a = (t - 3)$ og $b = (4 t + 2)$ . a) Bestem skalarproduktet $a \cdot b$ , når $t = 1$ . b) Bestem tallet $t$ , så $a$ og $b$ er ortogonale.

a)Bestem skalarproduktet, når $t = 1$ .
b)Bestem $t$ , så vektorerne er ortogonale.

Opgave 13Udfordrende

Længde med en ubekendt

En vektor $a$ er bestemt ved $a = (2 k 6)$ , hvor $k$ er et tal. a) Bestem den positive værdi af $k$ , hvor længden af $a$ er lig 10.

Opgave 14Udfordrende

Ukendt vektor ud fra to skalarprodukter

Tre vektorer er bestemt ved $a = (21)$ , $b = (13)$ og $c = (c_{1} c_{2})$ . Det oplyses, at $a \cdot c = 7$ og $b \cdot c = 11$ . a) Bestem tallene $c_{1}$ og $c_{2}$ .

Opgave 15Udfordrende

Projektion af en vektor

To vektorer er bestemt ved $a = (34)$ og $b = (105)$ . a) Bestem koordinatsættet til projektionen af $b$ på $a$ . b) Bestem længden af projektionen.

a)Bestem projektionen af $b$ på $a$ .
b)Bestem længden af projektionen.

Opgave 16Udfordrende

Vektorer i en model

En robot på et lager bevæger sig i et koordinatsystem, hvor en enhed svarer til 1 meter. Robotten kører først fra udgangspunktet $O (0, 0)$ til punktet $P (- 6, 8)$ og derefter videre langs vektoren $v = (104)$ . a) Bestem den samlede længde af robottens rute. b) Bestem vinklen mellem de to rutestykker, og forklar, hvad vinklen betyder for robottens bevægelse.

a)Bestem den samlede længde af ruten.
b)Bestem vinklen mellem de to rutestykker, og fortolk den.