Hvad er forskellen på skæringssted og skæringspunkt?

Skæringsstedet er den $x$-værdi, hvor de to grafer mødes. Skæringspunktet er hele punktet med begge koordinater, altså $(x, y)$.

Hvordan finder man skæringspunktet mellem to linjer?

Sæt de to forskrifter lig hinanden og løs ligningen for $x$. Indsæt derefter $x$ i en af forskrifterne, så får du $y$.

Hvornår skærer to linjer ikke hinanden?

Når de har samme hældningskoefficient, men forskellig begyndelsesværdi. Så er linjerne parallelle. Er både $a$ og $b$ ens, er det den samme linje, og de har uendelig mange fælles punkter.

← Lær matematik

Skæring mellem to lineære funktioner

To rette linjer mødes i højst ét punkt. Her lærer du at finde mødestedet både ved at aflæse grafen og ved at regne, og du får styr på forskellen mellem skæringssted og skæringspunkt.

Bygger på: Førstegradsligninger, Lineære funktioner

Hvad betyder det, at to linjer skærer hinanden?

To lineære funktioner $f$ og $g$ skærer hinanden der, hvor de har samme værdi for det samme $x$ . Tænk på to mobilabonnementer: det ene er billigst i starten, det andet bliver billigst senere. Skæringen er præcis det sted, hvor de koster det samme.

Definition

Skæringspunkt

Skæringspunktet mellem graferne for $f$ og $g$ er det punkt $(x, y)$ , hvor $f (x) = g (x) = y$ . Punktet ligger på begge grafer.

Definition

Skæringssted

Skæringsstedet er kun $x$ -værdien, altså løsningen til ligningen $f (x) = g (x)$ . Skæringsstedet er ét tal, mens skæringspunktet er to koordinater.

Læs derfor opgaveteksten grundigt. Står der ,bestem skæringsstedet', er svaret et tal som $x = 3$ . Står der ,bestem skæringspunktet', skal svaret være et punkt som $(3, 7)$ .

f(x) = 2x + 1g(x) = x + 4(3, 7)

Graferne for f(x) = 2x + 1 og g(x) = x + 4 skærer hinanden i punktet (3, 7). Skæringsstedet er x = 3.

Den grafiske metode

Tegner du begge linjer i det samme koordinatsystem, kan du aflæse skæringen direkte. Metoden er hurtig og giver et godt overblik, men den er kun så præcis som din aflæsning.

Tegn begge grafer i samme koordinatsystem, fx ud fra $b$ og hældningen $a$ .
Find det sted, hvor de to linjer krydser hinanden.
Gå lodret ned til $x$ -aksen: den værdi er skæringsstedet.
Gå vandret ud til $y$ -aksen: sammen med $x$ -værdien giver den skæringspunktet $(x, y)$ .
Kontrollér ved at indsætte $x$ -værdien i begge forskrifter. Får du samme $y$ , passer aflæsningen.

Eksempel

Aflæs skæringen på en graf

Grafen for $f$ går gennem $(0, 1)$ og stiger 2 op for hver 1 til højre.
Grafen for $g$ går gennem $(0, 4)$ og stiger 1 op for hver 1 til højre.
Linjerne krydser hinanden over $x = 3$ , og i den højde er $y = 7$ .
Kontrol: $f (3) = 2 \cdot 3 + 1 = 7 og g (3) = 3 + 4 = 7$
Skæringsstedet er $x = 3$ , og skæringspunktet er $(3, 7)$ .

Typisk fejl

Aflæsning uden kontrol

En graf tegnet i hånden rammer sjældent præcist. Er skæringen ikke i et pænt gitterpunkt, giver aflæsningen kun et cirka-svar. Brug den algebraiske metode, når opgaven kræver et eksakt resultat.

Den algebraiske metode

Vil du have et eksakt svar, sætter du de to forskrifter lig hinanden. Så bliver spørgsmålet ,hvor mødes graferne' til en helt almindelig førstegradsligning.

f (x) = g (x) ⟺ a_{1} x + b_{1} = a_{2} x + b_{2}

Løsningen x er skæringsstedet. Indsæt x i en forskrift for at få y.

Sæt de to forskrifter lig hinanden: $f (x) = g (x)$ .
Saml alle led med $x$ på den ene side og tallene på den anden.
Isolér $x$ . Det tal er skæringsstedet.
Indsæt $x$ i en af de to forskrifter og udregn $y$ .
Skriv svaret som punktet $(x, y)$ , og tjek gerne i den anden forskrift.

Eksempel

Find skæringspunktet for f(x) = -x + 6 og g(x) = 3x - 2

Sæt forskrifterne lig hinanden: $- x + 6 = 3 x - 2$
Saml led med $x$ og tal: $6 + 2 = 3 x + x$
Udregn og isolér: $8 = 4 x \Rightarrow x = 2$
Skæringsstedet er $x = 2$ . Indsæt i $f$ : $f (2) = - 2 + 6 = 4$
Kontrol i $g$ : $g (2) = 3 \cdot 2 - 2 = 4$
Skæringspunktet er $(2, 4)$ .

Der findes en genvej, hvis du hellere vil regne i én formel. Af $a_{1} x + b_{1} = a_{2} x + b_{2}$ følger nemlig, at skæringsstedet kan skrives direkte, når hældningerne er forskellige.

x = \frac{b _{2} - b _{1}}{a _{1} - a _{2}}

Gælder når a₁ er forskellig fra a₂, altså når linjerne ikke er parallelle.

Når der ingen skæring er

To rette linjer har enten præcis ét fælles punkt, ingen fælles punkter eller uendelig mange. Det afhænger alene af $a$ og $b$ .

$a_{1} \neq = a_{2}$ : linjerne har forskellig hældning og skærer hinanden i præcis ét punkt.
$a_{1} = a_{2}$ og $b_{1} \neq = b_{2}$ : linjerne er parallelle og mødes aldrig. Ligningen ender i noget umuligt som $3 = - 5$ .
$a_{1} = a_{2}$ og $b_{1} = b_{2}$ : det er den samme linje, så alle punkter er fælles. Ligningen ender i noget altid sandt som $0 = 0$ .

Typisk fejl

Kun x som svar

Den hyppigste fejl er at stoppe, når $x$ er fundet. Beder opgaven om skæringspunktet, mangler du stadig $y$ . Sæt $x$ -værdien ind i en forskrift, og skriv svaret som et punkt.

Typisk fejl

Blandede enheder i modeller

I kontekstopgaver skal de to modeller beskrive det samme. Måler den ene pris pr. måned og den anden pr. år, giver skæringen ingen mening, før du har regnet dem om til samme enhed.

Korte svar på typiske spørgsmål

Hvad er forskellen på skæringssted og skæringspunkt?: Skæringsstedet er den $x$-værdi, hvor de to grafer mødes. Skæringspunktet er hele punktet med begge koordinater, altså $(x, y)$.
Hvordan finder man skæringspunktet mellem to linjer?: Sæt de to forskrifter lig hinanden og løs ligningen for $x$. Indsæt derefter $x$ i en af forskrifterne, så får du $y$.
Hvornår skærer to linjer ikke hinanden?: Når de har samme hældningskoefficient, men forskellig begyndelsesværdi. Så er linjerne parallelle. Er både $a$ og $b$ ens, er det den samme linje, og de har uendelig mange fælles punkter.

Øv det nu

Opgaver: skæringspunkt mellem linjer
16 opgaver